黑球、白球各 100，最后剩下一个是黑球的可能性
1. 题目 👇
一个桶里面有白球. 黑球各 100 个，现在按下述的规则取球：
- i. 每次从桶里面拿出来两个球；
- ii. 如果取出的是两个同色的球，就再放入一个黑球；
- iii. 如果取出的是两个异色的球，就再放入一个白球；
问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？
2. 思考与解答
2.1 统计法
我们可一个用一个集合来表示桶中的黑球和白球的个数。 从桶中取出球后，只可能是下列三种操作：
- 取出的是两个黑球，则放回一个黑球：
（-2，0）+（1，0）=（-1，0）； - 取出的是两个白球，则放回一个黑球：
（0，-2）+（1，0）=（1，-2）； - 取出的是一黑一白，则放回一个白球：
（-1，-1）+（0，1）=（-1，0）；
根据上面的规则，我们可以发现：
白球的数量变化情况只能是不变或者 -2，也就是说，如果是 100 个白球，白球永远不可能是 1 个的情况， 那么问题的解法就很简单了，就是只剩下黑球的概率为 100%。
2.2 异或运算
两个相同的球异或等于 0，两个不同的球异或等于 1，所以就将黑球赋为 0，白球赋为 1，分别表示异或运算的结果。 下面给出异或运算的一些规律：
- 偶数个
1异或，结果为0； - 偶数个
0异或，结果为0； - 奇数个
1异或，结果为1； - 奇数个
0异或，结果为0：
奇数个的情况，可以理解为
奇数 = 偶数 + 1，所以根据偶数个的情况即可得到结果。
可以作这样的抽象：每次捞出两个数字做一次异或操作，并将所得的结果丢回桶中。 因此最后的结果实际上相当于把所有的球都进行一次异或运算，最后所得的结果即为最后剩余的球。
就有可能是 0 ^ 1 ^ 1 ^ 0 …… 之类的情况，又因为异或运算满足结合律，上式可变为：
（0 ^ 0 ……^ 0） ^ （1 ^ 1 ……^ 1） 两边都是 100 个，结果就是 0，所以结果只能是黑球，就是只剩下黑球的概率为 100%。